司法机关会对投案人的自愿性、真实性和具体情况等进行评估和判断，最终做出是否认定其属于投案自首的决定。总体来说，投案自首的认定由公安机关、司法机关或法院等相关部门进行。具体由哪个部门认定，取决于犯罪嫌疑人的投案时间、逮捕情况以及正在处理该案件的阶段。
投案自首的认定方式有以下几种：
1. 公安机关认定：一般情况下，投案自首的人应该向公安机关投案，并由公安机关进行认定。公安机关会对投案人的自愿性、时间、方式和目的等进行综合判断，并采取调查验证、证人证言、物证等方式收集证据，最后做出是否认定其属于投案自首的决定。
2. 司法机关认定：在犯罪嫌疑人已经被依法采取强制措施（例如逮捕、拘留）的情况下，犯罪嫌疑人可以在被司法机关审查起诉前主动投案自首，并由司法机关进行认定。司法机关会对投案人的自愿性、真实性和具体情况等进行评估和判断，最终做出是否认定其属于投案自首的决定。
3. 法院判决认定：在犯罪嫌疑人已经被捕获或被依法判处刑罚的情况下，犯罪嫌疑人可以在判决前自动投案，并由法院进行认定。法院会根据投案人的自愿程度、真实性和对案件的积极协助等因素进行评估，最终做出是否认定其属于投案自首的判决。
总体来说，投案自首的认定由公安机关、司法机关或法院等相关部门进行。具体由哪个部门认定，取决于犯罪嫌疑人的投案时间、逮捕情况以及正在处理该案件的阶段。