具体的部门或机构可能是房管局、不动产登记中心等，根据当地规定而定。
婚姻存续期间变更房屋产权的具体程序如下：
1. 确定产权变更方式：夫妻双方可以选择将房屋转为夫或妻一方的名下，或者将房屋转为夫妻共同所有。
2. 双方达成变更协议：夫妻双方应当协商一致，签订书面的房产变更协议，明确变更方式、产权归属、双方的权益等内容。
3. 办理法律程序：根据当地相关的法律规定和程序，准备相应的申请材料，包括变更协议、房屋产权证、身份证明等。
4. 提交申请材料：双方携带完整的申请材料，到相关的部门或机构办理产权变更手续。具体的部门或机构可能是房管局、不动产登记中心等，根据当地规定而定。
5. 审核与登记：相关部门或机构会对提交的申请材料进行审核，并在通过审核后，办理房屋产权的变更登记手续。
6. 缴纳税费：根据房产变更的具体情况，夫妻双方需要缴纳相应的税费，如契税、土地增值税等。
7. 领取产权证书：在整个变更程序办理完成后，夫妻双方可以领取新的房屋产权证书，确认房屋产权的变更。
需要注意的是，婚姻存续期间房产更名的具体程序可能会因地区而有所差异，建议在办理过程中详细了解当地的相关规定和要求，并在需要时咨询相关专业人士或部门。