故意损毁名胜古迹行为涉嫌构成犯罪后，将会面临法律追究和承担相应的法律责任。对于犯罪嫌疑人，司法机关将会进行调查、起诉，并进行审判判决。损毁名胜古迹行为造成的损失可能被受损古迹的权利人、管理单位或国家主张赔偿，并向法院提起相应的民事诉讼。
故意损毁名胜古迹行为涉嫌构成犯罪后，将会面临法律追究和承担相应的法律责任。具体的法律责任视国家法律制度而定，但一般包括以下几个方面：
1. 刑事责任：损毁名胜古迹可能构成刑事犯罪，如故意破坏文物罪、故意损毁名胜古迹罪等，将依照相关刑法条款追究刑事责任。对于犯罪嫌疑人，司法机关将会进行调查、起诉，并进行审判判决。
2. 刑事处罚：如果被判定有罪，犯罪嫌疑人可能面临刑罚，包括罚款、有期徒刑、无期徒刑、死刑等。具体刑罚的适用由法院根据事实和法律条款综合考虑而定。
3. 民事责任：除了刑事责任外，犯罪嫌疑人还可能面临民事赔偿责任。损毁名胜古迹行为造成的损失可能被受损古迹的权利人、管理单位或国家主张赔偿，并向法院提起相应的民事诉讼。
4. 行政处罚：相关行政执法机关也可能依法给予犯罪嫌疑人行政处罚，如罚款、行政拘留等。这类处罚一般不具有刑事记录，但仍然会对个人的社会信用和形象造成一定的影响。
需要注意的是，法律责任的具体情况可能根据不同国家和地区的法律而有所不同。以上回答仅为一般情况，具体问题需要参考当地相关法律的规定。