根据上述规定，当投递员或其他邮政人员故意延误投递邮件，并引起他人损失或不良影响时，邮政管理部门可以根据相关规定立案并追究相应的刑事责任。具体的立案要求和处理方式可以根据实际情况和相关法律法规进行裁量。
根据我国刑法，故意延误投递邮件属于“妨害邮政管理罪”，主要涉及202条的相关规定，立案标准主要包括以下几个方面：
1. 故意：犯罪主体必须具备故意行为，即知道延误邮件会对他人造成损失或不良影响，并且有意进行延误。
2. 延误投递：具体指以违法的手段或方法故意延误邮件的投递，包括不投递、拖延投递、错误投递等。
3. 邮件：指的是经过邮政管理部门承运和管理的涉及书信、文件、物品等被包装起来邮寄递送的信息载体。
4. 损失或不良影响：具体指延误邮件导致他人经济损失、财产损失或其他不良后果，如错过合同截止日期、错失重要文件、延误重要资讯等。
根据上述规定，当投递员或其他邮政人员故意延误投递邮件，并引起他人损失或不良影响时，邮政管理部门可以根据相关规定立案并追究相应的刑事责任。具体的立案要求和处理方式可以根据实际情况和相关法律法规进行裁量。