总而言之，放任制售伪劣商品犯罪行为的法律责任追究主要涉及到制造、销售相关人员以及监管部门的责任。
放任制造、销售伪劣商品的犯罪行为是一种社会危害性很大的行为，根据中国刑法的规定，相关责任可以追究如下：
1. 制造伪劣商品的责任：如果有人故意伪造他人专有标识或者他人有权者的专有标识，用以标明伪劣商品的质量、厂名、厂址等重要信息，并将其制造、销售，情节严重的，可以构成“侵犯注册商标权罪”，根据《中华人民共和国刑法》第二百五十一条规定，最高可判处七年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。
2. 销售伪劣商品的责任：根据《中华人民共和国刑法》第一百九十条规定，销售明知是伪劣商品的，其数额较大的，或者有其他严重情节的，构成“销售伪劣商品罪”，最高可判处五年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。
3. 组织、领导制售伪劣商品的责任：如果有人组织、领导进行制售伪劣商品的活动，构成“组织、领导制售伪劣商品罪”，根据《中华人民共和国刑法》第二百五十二条规定，最高可判处七年以上十四年以下有期徒刑，并处罚金。
4. 监管部门责任：监管部门在防范和打击伪劣商品犯罪方面有监管责任，如果监管部门未能履行监管职责，导致伪劣商品大量流入市场或造成重大危害，根据相关法律规定，相关责任人员可能会被追究行政责任，甚至涉嫌渎职犯罪。
总而言之，放任制售伪劣商品犯罪行为的法律责任追究主要涉及到制造、销售相关人员以及监管部门的责任。具体的追究方式和判决结果需要根据案件的具体情况来确定。